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wikipaom2016:assemb_vinc

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Linea 1: Linea 1:
 +=====In attesa di revisione=====
  
 +====INTRODUZIONE===
 +La formulazione generale di un procedimento agli elementi finiti prevede essenzialmente di arrivare a scrivere la relazione che lega gli spostamenti nodali __u__ alle forze nodali __F__ di un singolo elemento tramite un equazione del tipo:
 +
 + {{https://cdm.ing.unimo.it/dokuwiki/_media/wikipaom2016/codecogseqn_20_.gif}}
 +
 +dove K è la matrice di rigidezza dell elemento.
 +
 +La relazione sopra riportata potrà essere scritta non solo per il singolo elemento, ma anche per un intera struttura. Per ottenere l'equazione che lega forze nodali e spostamenti mediante la matrice rigidezza si passa per il calcolo dell'energia potenziale elastica e del lavoro virtuale. Di seguito vengono riportati tali passaggi.
 +
 +====CALCOLO VARIAZIONE ENERGIA POTENZIALE ELASTICA====
 +Si consideri un corpo in equilibrio soggetto a carichi e se ne perturbi l'equilibrio applicando degli spostamenti virtuali {{https://cdm.ing.unimo.it/dokuwiki/_media/wikipaom2016/codecogseqn_23_.gif}} descritti tramite spostamenti nodali; è possibile scrivere il vettore deformazione dovuto agli spostamenti virtuali come:
 +
 +{{https://cdm.ing.unimo.it/dokuwiki/_media/wikipaom2016/codecogseqn.gif}}
 +
 +
 + in cui il vettore deformazione virtuale ha la seguente forma:
 +{{https://cdm.ing.unimo.it/dokuwiki/_media/wikipaom2016/codecogseqn_1_.gif}}    (in 2D)
 +
 +{{https://cdm.ing.unimo.it/dokuwiki/_media/wikipaom2016/codecogseqn_2_.gif}}    (in 3D)
 +
 +Inoltre in base ai risultati ottenuti dalle lezioni precedenti, è possibile scrivere la matrice B come il prodotto della matrice L ed N, per cui:
 +
 +{{https://cdm.ing.unimo.it/dokuwiki/_media/wikipaom2016/codecogseqn_3_.gif}}
 +
 +Le tensioni preesistenti legate allo stato di equilibrio non sono funzione degli spostamenti virtuali, ma della deformata della struttura. Si considerano gli spostamenti virtuali applicati infinitesimi. Tale considerazione non è una scelta necessaria ma permette di semplificare il calcolo trascurando gli infinitesimi di ordine superiore. Le tensioni associate allo stato di equilibrio che vado a perturbare con gli spostameti virtuali  , sono così espresse (in 2D e 3D):
 +
 +{{https://cdm.ing.unimo.it/dokuwiki/_media/wikipaom2016/codecogseqn_6_.gif}}
 +
 +Dove D è la matrice di legame elastico e __u__ è il vettore degli spostamenti nodali nella configurazione di equilibrio. Grazie alla scelta di applicare gli spostamenti infinitesimi, è possibile trascurare i contributi energetici  δ__u__ = __D__ · δ__ε__  associati alla deformazione virtuale in quanto infinitesimi di ordine superiore.
 +
 +Calcolo della variazione (riduzione) di energia potenziale elastica δU associata agli spostamenti virtuali δ__u__:
 +
 +
 +{{ https://cdm.ing.unimo.it/dokuwiki/_media/wikipaom2016/codecogseqn_13_.gif }}
 +
 +(δ__u^T __ e __u__ sono costanti rispetto al volume e possono essere portati fuori dall’integrale)
 +
 +
 +Nel caso dell’elemento triangolare a 3 nodi, l’integrando, indicato con __K__, è costante in dV e quindi l’integrale risulta:
 +
 +
 +{{ https://cdm.ing.unimo.it/dokuwiki/_media/wikipaom2016/codecogseqn_12_.gif }}
 +
 +{{ https://cdm.ing.unimo.it/dokuwiki/_media/wikipaom2016/codecogseqn_15_.gif }}
 +
 +In cui:
 +δ__u^T __ è il vettore degli spostamenti virtuali che perturbano la configurazione iniziale di equilibrio;
 +__u__ è il vettore degli spostamenti associato alla configurazione di equilibrio;
 +__K__ è la matrice rigidezza dell’elemento.
 +
 +
 +====CALCOLO LAVORO VIRTUALE====
 +
 +Il lavoro virtuale delle forze esterne vale:
 +{{https://cdm.ing.unimo.it/dokuwiki/_media/wikipaom2016/codecogseqn_19_.gif}}
 +
 +dove __F__ è il vettore delle forze esterne applicate ai nodi:
 +{{ https://cdm.ing.unimo.it/dokuwiki/_media/wikipaom2016/codecogseqn_18_.gif }}
 +
 +dove i due integrali rappresentano le azioni esterne di superficie e di volume ridotte ai nodi.
 +
 +
 +
 +====PRINCIPIO DEI LAVORI VIRTUALI====
 +Per collegare le forze esterne agenti sui nodi di un elemento con gli spostamenti nodali dell'elemento stesso viene applicato il principio dei Lavori Virtuali.
 +Tale principio afferma che se un elemento viene sottoposto a un campo di spostamenti virtuali (cioè qualsiasi purchè rispettoso dei vincoli), il lavoro virtuale delle forze esterne (virtuale perchè dato da forze nodali reali ma spostamenti nodali virtuali) è uguale al lavoro virtuale delle forze interne (virtuale perchè dato da tensioni reali ma deformazioni virtuali).
 +
 +Per il principio dei lavori virtuali le ipotesi da applicare sono:  
 +  * Corpo in equilibrio:
 +          - spostamenti nodali __u__;
 +          - forze esterne applicate. 
 +  * Spostamenti virtuali:
 +          - arbitrari;
 +          - infinitesimi (non è necessario, ma mi permette di semplificare i calcoli trascurando i termini di ordine superiore);
 +          - compatibili con i vincoli (compatibili con le funzioni di forma → vincoli cinematici(i lati rettilinei rimangono rettilinei))                                      
 +
 +Allora è possibile riscrivere le relazioni precedentemente elaborate:
 +
 +{{ https://cdm.ing.unimo.it/dokuwiki/_media/wikipaom2016/codecogseqn_17_.gif }}
 +
 +Ed ottenere:
 +
 +{{ https://cdm.ing.unimo.it/dokuwiki/_media/wikipaom2016/codecogseqn_20_.gif }}
 +
 +Che rappresenta una relazione vettoriale di n equazioni in n incognite che sono gli spostamenti nodali dell'elemento. Se vale tale uguaglianza allora si è in condizioni di equilibrio.
 +__F__  : forze esterne applicate all’elemento;
 +__K__ · __u__ : forze da applicare ai nodi per equilibrare le reazioni elastiche associate agli spostamenti nodali δ__u__ ovvero le forze da applicare ai nodi per mantenere l'elemento in configurazione deformata.
 +
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 +====ASSEMBLAGGIO DELLA MATRICE DI RIGIDEZZA====
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 +Per la risoluzione di un problema strutturale reale, occorre ricondursi alla scrittura di una relazione del tipo: {{https://cdm.ing.unimo.it/dokuwiki/_media/wikipaom2016/codecogseqn_20_.gif}} valida però all'interno dell'intera struttura anzichè del solo elemento.Vale a dire che un problema statico, in regime di elasticità lineare, può essere risolto tramite un sistema costituito da tante equazioni quanti sono i gradi di libertà di tutta la struttura.Il vettore __u__ sarà composto dagli spostamenti di tutti i nodi con cui è stato discretizzato un componente meccanico; mentre il vettore __F__ sarà composto da tutte le forze applicate ai nodi.La matrice di rigidezza sarà ottenuta da quella dei singoli elementi considerando i termini omologhi che legano gli spostamenti dei nodi con le forze nodali.Quando un nodo appartiene a più elementi, i termini della matrice rigidezza corrispondenti a questo nodo saranno dati dalla somma dei singoli contributi di ciascuno degli elementi in comune.
 +
 +{{:wikipaom2016:lucidi_paom_20160308.pdf|Lucidi della giornata}}
 +FIXME
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 +~~DISCUSSION~~