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+======= DINAMICA DI SISTEMI AD n GDL (FEM) =======
+(vedi anche [[https://cdm.ing.unimo.it/files/progettazione_assistita/materiale_didattico/mia_dispensa_dinamica_bozzabozzabozza.pdf]])
+Forma di equilibrio dinamico:
+$\underline{\underline{M}} \ddot{\underline{x}} + \underline{\underline{C}} \dot{\underline{x}} + \underline{\underline{K}} \underline{x} = \underline{F}(t)$
+  * $\underline{\underline{M}} = \text{matrice massa}$
+  * $\underline{\underline{C}} = \text{matrice smorzamento}$
+  * $\underline{\underline{K}} = \text{matrice rigidezza}$
+Con ipotesi di comportamento lineare del sistema con soluzioni periodiche scomposte in serie di Fourier (per trovarne la forma armonica) siamo giunti alla forma algebrica dell'equazione differenziale sopra citata ponendo:
+$ \underline{x} (t)= Re(\overline{\underline{x}}e^{j\omega t}) \Rightarrow \dot{x}=j \omega \overline{x} e^{j\omega t} \Rightarrow{\ddot{x}=-\omega^2 \overline{x} e^{jwt}}$
+$F(t)=\underline{\overline{f}}e^{j\omega t}$
+$(-\omega^2 \underline{\underline{M}} + j \omega \underline{\underline{C}} + \underline{\underline{K}}) \underline{\overline{x}} = \underline{\bar{f}}$
+Dove:
+  * $\underline{x}$ = numero complesso che contiene componente reale ed immaginaria delle armoniche di risposta
+  * $\underline{f}$ = forzante esterna in forma complessa
+Tramite questa equazione ricavo $\underline{\overline{x}}$; dopodiché so che ogni elemento del vettore è:
+$x(t) = Re(\, \overline{x} \, e^{j \omega t} \,) \quad \text{con} \quad \omega = 2\, \pi \, \mathsf{f} \quad \: \text{ove} \quad \mathsf{f}=\text{frequenza}$
+Considero ora alcune soluzioni particolari cioè mi chiedo se esistano modi di oscillare che siano soluzioni armoniche non banali associate a __forzante esterna nulla__ ; perciò mi chiedo se il sistema stia fermo in assenza di forzante oppure no
+$\underline{\overline{f}} = \underline{0}$
+Affinché possa pensare di avere soluzioni non banali (diverse dalla stasi) devo eliminare ogni elemento dissipativo del sistema altrimenti il moto non può proseguire in eterno, perciò:
+$\underline{\underline{C}} = \underline{\underline{0}} \quad \text{matrice nulla}$
+Quindi il problema algebrico si riduce nella forma:
+(-$\omega^2 \underline{\underline{M}} + \underline{\underline{K}}) \underline{\overline{x}} = \underline{0}$
+dove il termine moltiplicativo di $\underline{\overline{x}}$ viene chiamato MATRICE DI SISTEMA.
+Nel caso in cui la matrice di sistema abbia rango pieno ho un'unica soluzione ovvero $\underline{\overline{x}}=\underline{0}$ quindi solo la soluzione banale che non si vuole considerare; perciò considero forme singolari della matrice di sistema del tipo:
+$ \mathsf{det}(- \omega^2 \underline{\underline{M}} + \underline{\underline{K}}) = 0$
+Sapendo che La matrice massa $\underline{\underline{M}}$ è costante così come la matrice K (per l'ipotesi di linearità assunta), l'annullamento del determinante è legato al termine $\omega^2$
+  * $\underline{\underline{K}}$è una matrice semi-definita positiva (definita positiva nel caso in cui sistema vincolato)
+  * $\underline{\underline{M}}$ è una matrice sempre definita positiva (di conseguenza -M è definita negativa)
+Perciò nella formula precedente una matrice definita negativa è aggiunta ad una matrice definita positiva in quote crescenti dovute alla pulsazione della eccitante cioè $\omega$ (in questo caso non avendo eccitante esterna, la pulsazione è quella della risposta, viene quindi definita __pulsazione naturale__ del sistema).
+Quindi si ha un'equazione nell'incognita $\omega^2$ e tipicamente il determinante è un polinomio di grado n dove n è l'ordine della matrice di sistema (nella maggior parte dei casi il polinomio è di grado elevato perciò non è possibile trovarne una soluzione analitica ma si procederà con processi iterativi).
+Nel caso in cui si riuscisse a trovare delle soluzioni $\omega_i^2$ con det=0 allora insieme alla soluzione banale si avranno anche delle oscillazioni con pulsazioni $\omega_i$ che possono esistere senza la presenza di forzanti esterne al sistema.
+Sostituendo gli $\omega_i$ trovati nell'equazione:
+(-$\omega^2 \underline{\underline{M}} + \underline{\underline{K}}) \underline{\overline{x}} = \underline{0}$
+è possibile calcolare una componente del vettore $\underline{\overline{x}}_i$ per ogni $\omega_i$ che è soluzione che si aggiunge a quella banale.
+Perciò si hanno coppie $\omega_i$,$\underline{x}_i$ che rappresentano moti propri del sistema senza eccitante esterna dove gli $\omega_i$ sono definiti come pulsazioni proprie del sistema.
+In realtà il sistema è singolare perché per trovare le pulsazioni proprie del sistema è stato imposto che il determinante della matrice di sistema abbia determinante nullo perciò per trovare le soluzioni volute $\omega_i$ occorre moltiplicare l'equazione per l'inversa della matrice $\underline{\underline{M}}$ ottenendo:
+$(-\omega^2 \underline{\underline{I}} + \underline{\underline{M}}^{-1} \underline{\underline{K}}) \underline{\overline{x}}= \underline{0}$
+che è ha la forma di un problema agli autovalori:
+$(\underline{\underline{A}} - \lambda \underline{\underline{I}})\underline{v}=0$
+Ricorda un problema di ricerca di coppie di autovalori-autovettori dove la generica soluzione $\lambda_i$ è autovalore (detto anche __eigenvalue__) e $\underline{v}_i$ è l'autovettore (detto anche __eigenvector__) associato.
+i generici $\lambda_i$ sono soluzioni della forma:
+$ \mathsf{det}(\underline{\underline{A}} - \lambda \underline{\underline{I}})=0$
+Che è un polinomio di grado n dove n è l'ordine della matrice $\underline{\underline{A}}$ o $\underline{\underline{I}}$
+  * Se $\lambda_i$ ha molteplicità = 1 --> ha un solo autovettore associato
+  * Se $\lambda_i$ ha molteplicità > 1 --> avrà numero di autovettori associati pari al valore della sua molteplicità
+Il problema di come si trovino le varie coppie $\lambda_i$ , $\underline{v}_i$ non lo poniamo perché lasciamo ad un codice apposito il calcolo; perciò si suppone di avere la soluzione già a disposizione.
+Nel nostro caso $\lambda_i$ coincide con $\omega^2_i$.
+In realtà si cerca di non invertire la matrice M perché è molto grande perciò richiederebbe un'elevata complessità di calcolo perciò alcuni algoritmi risolvono automaticamente:
+$\mathsf{det} (\underline{\underline{A}} - \lambda \underline{\underline{I}})=0$
+Tornando all'equazione:
+(-$\omega^2 \underline{\underline{M}} + \underline{\underline{K}}) \underline{\overline{x}} = \underline{0}$
+Le coppie $\lambda_i$ , $\underline{v}_i$, che nel nostro caso particolare sono $\omega^2_i$ e $\underline{\overline{x}}_i$, permettono di trovare la legge di moto del sistema cioè lo spostamento in funzione del tempo in assenza di sollecitazioni esterne:
+$\underline{x}(t)=Re(\underline{\overline{x}}_i e^{j \omega_i t}) $
+Nella realtà ogni sistema è sempre composto da dissipazioni seppur piccole perciò questi fenomeni non sono mai visibili.
+La singolarità della matrice di sistema ammette la presenza di almeno $\infty^1$ soluzioni (se la matrice ha rango n-1) ciò vuol dire che se $\underline{\overline{x}}_i$ è un autovettore allora anche un generico $\lambda \underline{\overline{x}}_i$ è soluzione dove $\lambda$ è uno scalare arbitrario perciò ho moti con ampiezza indefinita.
+Nel caso in cui siano presenti più autovalori di pari valore (cioè $\omega_i^2$ con molteplicità>1) per esempio:
+$\omega_i^2$ con molteplicità 3 a cui sono associati $\underline{\overline{x}}_{i1}$ , $\underline{\overline{x}}_{i2}$ , $\underline{\overline{x}}_{i3}$
+allora è soluzione del problema anche una qualunque combinazione lineare dei 3:
+$\lambda_1 \underline{\overline{x}}_{i1} +\lambda_2 \underline{\overline{x}}_{i2} + \lambda_3 \underline{\overline{x}}_{i3}$
+Che rappresenta un altro moto che esiste in assenza di forzante, si ha la possibilità di operare su tre parametri indipendenti rimanendo nel campo delle soluzioni di $\mathsf{det}(\underline{\underline{A}} - \lambda \underline{\underline{I}})=0$
+[Se $\omega_i^2$ ha molteplicità 3 allora -$\omega^2 \underline{\underline{M}} + \underline{\underline{K}}$ è una matrice di rango n-3 quindi $\infty^3$ soluzioni].
+Consideriamo ora un caso specifico:
+=====Barra flettente incastrata ad un estremo=====
+{{:wikipaom2015:trave_incastrata_6nodes_18dof-1.png|}}
+GDL per nodo (cioè spostamenti e rotazioni)
+Nella struttura discretizzata a FEM ho 6 nodi non vincolati ciò vuol dire che ho 18 GDL totali quindi le matrici massa $\underline{\underline{M}}$ e rigidezza $\underline{\underline{K}}$ sono 18x18.
+La struttura avrà tanti modi propri di vibrare quanti sono i GDL della struttura, dopo un certo valore però le frequenze raggiunte sono talmente elevate da poter non essere più considerate; perciò prendo in considerazione solo i primi modi propri cioè quelli confinati ai valori di frequenza più bassi (cioè $\omega_i$ minori) che sono i più importanti perché condizionano maggiormente il moto della struttura.
+{{:wikipaom2015:trave_incastrata_deformata_in_2dof-1.png|}}
+//I° modo proprio di vibrare della struttura cioè quello a pulsazione $\omega_i$ più bassa//
+Il generico nodo ha rotazione diversa da zero, spostamento nullo lungo y ma diverso da zero lungo x perciò un generico autovettore associato a questo modo proprio di vibrare è:
+$$
+   \newcommand{\vec}[1]{\smash{\underline{#1}}}
+   \newcommand{\mat}[1]{\smash{\underline{\underline{#1}}}}
+$$
+$$
+\underline{\overline{x}}_i
+=
+\begin{bmatrix}
+    ...\\
+    ...\\
+    \delta\\
+\\
+    \theta\\
+    ...\\
+    ...\\
+\end{bmatrix}
+$$
+Dove i valori di $\delta$ e $\theta$ sono quelli attribuiti al generico nodo ma cambieranno da nodo a nodo pur mantenendo lo spostamento y sempre nullo.
+Il vettore $\underline{\overline{x}}_i$ indica l'ampiezza dello spostamento dovuto a quel generico modo di vibrare della struttura. Ovviamente saranno possibili tutte le possibili ampiezza definite da $\lambda \underline{x}_i$ con $\lambda$ scalare qualsiasi. Cioè posso trovare, per scalatura, tutte le deformate del tipo:
+{{:wikipaom2015:possibili_deformazioni_travi-1.png|}}
+In realtà vorrei trovare una soluzione sola per ogni modo di vibrare della struttura cioè un unico vettore $\underline{x}_i$, perciò devo trovare un $\lambda$ che soddisfi la relazione:
+$\lambda \underline{\overline{x}}_i^T \underline{\underline{M}} \lambda \underline{\overline{x}}_i=1$
+dove indico:
+$\lambda \underline{\overline{x}}_i = \underline{\hat{x}}_i$
+Scalatura a massa unitaria di $\lambda$
+Perciò vengono restituiti $\lambda \underline{\overline{x}}_i$ che rispettano quella scalatura e vengono accettati come soluzione unica in $\underline{\hat{x}}_i$.
+__**Ora riprendo il caso originario considerando anche la smorzamento**__
+(-$\omega^2_i \underline{\underline{M}} + j \omega_i \underline{\underline{C}} + \underline{\underline{K}}) a \underline{\hat{x}}_i = \underline{\bar{f}}$
+Suppongo di eccitare il sistema con una pulsazione pari ad una delle pulsazioni naturali $\omega_i$ del mio sistema e verifico se esiste una forma del tipo a$\underline{\hat{x}}_i$ (scalatura arbitraria del modo proprio) che può essere soluzione per un qualche valore di "a".
+(-$\omega^2_i \underline{\underline{M}} + j \omega_i \underline{\underline{C}} + \underline{\underline{K}}) a \underline{\hat{x}}_i = \underline{\bar{f}}$
+Posso scriverla come:
+(-$\omega^2_i \underline{\underline{M}} + \underline{\underline{K}}) a\underline{\hat{x}}_i + j \underline{\omega_i} \underline{\underline{C}} a \underline{\hat{x}}_i = \underline{\bar{f}}$
+Dove (-$\omega^2_i \underline{\underline{M}} + \underline{\underline{K}}) a\underline{\hat{x}}_i =0$ per definizione, perché la frequenza considerata è pari ad una pulsazione naturale del sistema.
+$j \underline{\omega_i} \underline{\underline{C}} a \underline{\hat{x}}_i  = \underline{\bar{f}}$
+La forzante esterna è equilibrata dal termine smorzante con pulsazione $\omega=\omega_i$ cioè pulsazione naturale del sistema.
+Quindi abbiamo ottenuto un'equazione vettoriale in un'incognita cioè "a".
+Premoltiplico per $\underline{\hat{x}}_i^T$ per ottenere un'__equazione scalare__:
+$j\omega_i\underline{\hat{x}}_i^T\underline{\underline{C}}\underline{\hat{x}}_ia=\underline{\hat{x}}_i^T\underline{\bar{f}}$
+Da questa equazione scalare posso calcolare "a":
+$a=\underline{\hat{x}}_i^T\underline{\bar{f}}/j\omega_i\underline{\hat{x}}_i^T\underline{\underline{C}}\underline{\hat{x}}_i$
+"a" rappresenta l'ampiezza con cui il modo proprio di vibrare può sussistere nella struttura con forzante esterna e smorzamento.
+Si può notare che il modulo di "a" è definito dal rapporto di due entità:
+  * Numeratore --> $\underline{\hat{x}}_i^T\underline{\bar{f}}$
+  * Denominatore --> $\underline{\hat{x}}_i^T\underline{\underline{C}}\underline{\hat{x}}_i$
+Quindi se $\underline{\hat{x}}_i^T\underline{\bar{f}}=0$ --> a=0 Perciò è sufficiente che $\underline{\hat{x}}_i^T$ sia perpendicolare ad $\underline{\bar{f}}$ per far annullare "a".
+===== Diapason =====
+Un diapason nello spazio ha una varietà di modi propri pari al numero di nodi in cui è discretizzato per 6 gradi di libertà, ogni nodo considerato con traslazioni e rotazioni nulle. Se il diapason non fosse discretizzato, ma venisse considerato un materiale continuo, i suoi modi propri sarebbero infiniti.
+Considero il caso in cui il diapason ha solo due modi propri di vibrare. Il primo modo proprio è la vibrazione in apertura e chiusura delle aste in direzione simmetrica, di solito con una frequenza di 440Hz. Il punto inferiore che congiunge i due rami e la barra incastrata sono fermi.
+{{:wikipaom2015:diapason_corna_deformate-2.png|}}
+{{:wikipaom2015:diapason_corna_deformate-2.pdf|sorgente ipe}}
+Il secondo modo proprio del diapason incastrato alla base è un moto di oscillazione.
+{{:wikipaom2015:spostamenti_con_verso_concorde-1.png|}}
+{{:wikipaom2015:spostamenti_con_verso_concorde-1.pdf|sorgente ipe}}
+Se la struttura è simmetrica, come nel caso del diapason, i modi propri possono essere di tipo simmetrico o antisimmetrico. Nei modi simmetrici gli spostamenti normali al piano di simmetria sono uguali e contrari, gli spostamenti paralleli al piano sono uguali e le rotazioni con asse parallelo all'asse di simmetria sono uguali e opposti. Nel caso opposto il modo è di tipo antisimmetrico.
+{{:wikipaom2015:moto_simmetrico_e_antisimmetrico-1.png|}}
+{{:wikipaom2015:moto_simmetrico_e_antisimmetrico-1.pdf|sorgente ipe}}
+Applichiamo una forza simmetrica sui due bracci del diapason di entità Fcosωt con pulsazione propria. Nel caso in esame interessano soltanto le prime 6 componenti dei vettori.
+INSERIRE VETTORI
+Il prodotto scalare al numeratore fra i vettori xi cappuccio e F è nullo perché i vettori sono ortogonali. Il vettore velocità è proporzionale al vettore spostamento e la potenza istantanea è il prodotto istantaneo fra forza e velocità. Se i due vettori sono ortogonali, il loro prodotto scalare è nullo. Se il numeratore è nullo, l'identità di a tende ad un valore infinito, ciò si ha nel caso di smorzamento prossimo a zero.
+In generale tutti i sistemi di forza antisimmetrici non possono compiere lavoro sui modi simmetrici e tutti i sistemi di forze simmetrici non possono compiere lavoro sui modi antisimmetrici.
+Nel caso di lievi deformazioni della simmetria, per esempio nel caso di diapason storto, il prodotto scalare xi cappuccio F sarebbe diverso da zero, con un'entità tanto grande quanto maggiore è la deformazione. Il sistema in questo caso particolare ha una soluzione periodica di ampiezza infinita, cioè ciclo dopo ciclo la forza eccitante introduce nel sistema un lavoro che si accumula e il sistema inizia a vibrare con energia sempre maggiore.
+Il denominatore si annulla quando le forze viscose sono ortogonali al modo di vibrare, nell'esempio del diapason questo caso si verifica quando lo si sorregge con le mani, perché non è un incastro perfetto, ma fungono da smorzatore. La matrice smorzamento non è più nulla e la soluzione a lungo termine non ha più ampiezza infinita.
+{{:wikipaom2015:diapason_con_forzante_periodico_omegat_orizzontale1.pdf|sorgente ipe
+}}
+{{:wikipaom2015:diapason_con_smorzatore1.pdf|sorgente ipe}}
+{{:wikipaom2015:diapason-deformato-con-smorzatore1.pdf|sorgente ipe
+}}
+**Proprietà dei modi propri**
+) due modi propri, xi cappuccio e xj cappuccio, sono __ortogonali rispetto alla matrice massa__ quando
+xj cappuccio matrice M xi cappuccio = delta ij di Kronecker con delta ij = 0 se i diverso da j e 1 se i=j
+) due modi propri sono __ortogonali rispetto alla matrice rigidezza__ quando
+xj cappuccio matrice K xi cappuccio = 0 se i diverso da j e ω^2 se i=j
+se sono soddisfatte entrambe le condizioni allora i due modi propri sono __linearmente indipendenti__.
+Considero un pendolo vibrante nel piano ad una certa frequenza, a seconda del piano considerato ho dei modi propri diversi e indipendenti, ma con la stessa frequenza.
+IMMAGINE PENDOLO
+Siano ω1xicappuccio1 e ω1xicappuccio2 i due modi propri del pendolo, è possibile tracciare i modi propri del sistema all'interno di un piano xz. Componendo i modi propri di ciascun piano si può ottenere degli ulteriori modi piani e a seconda del parametro di composizione, è possibile variare anche la fase ed ottenere, per esempio, un modo ellittico o circolare.
+IMMAGINE.