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+Partiamo dallo studio dell'elemento trave di cui la piastra ne è l'estensione.
+Assegnata una trave in 2 dimensioni, è caratterizzata da spostamenti nelle direzioni "X" e "Z" chiamate rispettivamente "U<sub>1</sub>" e "W<sub>1</sub>" associate al nodo 1; mentre "U<sub>2</sub>" e "W<sub>2</sub>" relativamente al nodo 2; si hanno inoltre due rotazioni φ<sub>1</sub> e φ<sub>2</sub> relativamente ai nodi "1" e "2".
+{{ :wikipaom2015:trave_2d_gradi_liberta.png |}}
+Nel caso di trave in tre dimensioni si hanno 12 g.d.l rispettivamente tre spostamenti e tre rotazioni per nodo.
+{{ :wikipaom2015:nodo_in_3d.png |}}
+Estendendo il nodo in tre dimensioni sopra  riportato, si vanno a valutare le rototraslazioni delle sezioni.
+Nel caso di Torsione, la conservazione delle sezioni piane si ha solo per cilindri e cilindri cavi dunque è più complicato trattarla.
+Consideriamo i casi di trave che lavora con carichi:
+  * **Flessionali**: Trave sottile nella quale è trascurabile la deformazione a taglio detta anche trave di Eulero-Bernoulli;
+  * **Flesso-Taglianti**: Trave spessa o trave alla "Timoshenko" nella quale l'effetto della deformazione a taglio non è trascurabile ;
+  * **A sforzo normale**.
+In teoria si parla di trave sottile quando il rapporto tra la dimensione caratteristica della sezione (spessore "**S**") e del corpo (lunghezza della trave "**L**") è maggiore di 1:10.
+Nella pratica il valore di questo rapporto può variare in base all'errore che si vuole ottenere (es: se **L = 10 S** allora commettiamo un errore di circa 10%) in genere più questo rapporto è piccolo, più l'errore sarà esiguo.
+Ipotizzando una distribuzione costante delle "**τ**" avrei una situazione impossibile sul bordo della trave in quanto la "**τ**" non sarebbe equilibrata visto che la parte superiore della trave è a contatto con l'aria.
+{{ :wikipaom2015:distribuzione_costante_sezione_rettangolare_impossibile.png |}}
+Dunque si deduce che ho un andamento parabolico da "**0**" a "**τ<sub>MAX</sub>**" con "**τ<sub>MAX</sub> = 1.5 T/A**"
+{{ :wikipaom2015:sez_rettangolare_soggetta_a_taglio.png |}}
+Per calcolare l'energia potenziale dell'elemento di trave piena impongo una compressione sulla trave: **u<sub>1</sub>=1** e **u<sub>2</sub>=v<sub>1</sub>=..=0**
+La sezione è lasciata libera di deformarsi sotto l'effetto Poisson
+In riferimento all' immagine riportata di sotto abbiamo 4 funzioni di forma :
+   * Trazione
+   * Compressione
+   * Taglio
+   * Flessione
+Per quanto riguarda il taglio si verifica solo quando w<sub>1</sub> ≠ 0 (o w<sub>2</sub>≠0 nell'altro caso).
+In questo caso siamo in presenza di un problema cubico, servono quattro costanti w<sub>1</sub>, w<sub>2</sub>, φ<sub>1</sub>, φ<sub>2</sub>. L'espressione della deformata è:
+**ω(ξ)=a(ξ<sup>3</sup>)+ b(ξ<sup>2</sup>) + c(ξ) + d**
+Considerando un esempio semplice di trave puramente soggetta a flessione con carico concentrato all'estremità libera si ha che spostamenti e rotazioni non sono disgiunti.
+Il momento flettente risulta essere lineare, la curvatura è lineare e quindi la deformata **ω** è cubica
+{{ :wikipaom2015:carico_concentrato.png |}}
+Imponendo una rotazione di un radiante all'estremità libera della trave anche qui la deformata è un espressione cubica che consente di ricavare l'andamento di Mf. Ciò che manca rispetto al caso 2D rispetto al 3D sono i due moti torsionali rispetto ai nodi (3D=12 g.d.l.)
+I risultati ottenuti dalla teoria di Bernoulli sono interpretati nella teoria di Timoshenko nel seguente modo:
+considerando la  trave che si **"deforma ad S"** spostamenti e deformazioni possono essere disaccoppiati in 2 spostamenti nodali oppure uno spostamento nodale sommato ad una traslazione rigida.
+Tale deformata ottenuta dalla trave di Eulero nel caso di flessione pura può essere interpretata secondo la teoria di Timoshenko come le figure **c** e **g** che rappresentano lo stesso tipo di sollecitazione a taglio a meno di una rotazione.
+{{ :wikipaom2015:1.png |}}
+{{ :wikipaom2015:2.png |}}
+{{ :wikipaom2015:3.png |}}
+{{ :wikipaom2015:4.png |}}
+{{ :wikipaom2015:5.png |}}
+{{ :wikipaom2015:6.png |}}
+{{ :wikipaom2015:con_numerazione.png |}}
+{{ :wikipaom2015:trave_2.png |}}
+{{ :wikipaom2015:immagine2g6.png |}}
+In letteratura si hanno due formulazioni riguardo la trave:
+  *
+  ********************************
+Si definisce una legge per la rototraslazione di ogni punto sull'asse della trave,quindi dalle
+rototraslazioni dei due nodi (sia nel caso 2d che nel caso 3d) vengono derivati spostamenti e rotazioni
+di ogni punto sull'asse della trave, cui ovviamente corrisponde viene una sezione.
+Andando a considerare l'evoluzione delle rototraslazioni delle sezioni di tipo deformativo si vanno a
+calcolare le deformazioni flessionali, di sforzo normale e torsionale.
+ È immediato andare a vedere le deformazioni flessionali, taglianti e sforzo normale, costruite partendo dall'ipotesi di
+conservazione delle sezioni piane; un pò più complicato è andare a definire la torsione, perchè la torsione conserva le
+sezioni piane solo per cilindri cavi o pieni.
+Per l'elemento trave conosciamo due formulazioni: tipicamente si parla di travi flessionali e travi flessotaglianti
+(più eventualmente lo sforzo normale, che però è più facilmente gestibile).
+Per quanto riguarda la prima formulazione, si parla di travi flessionali per travi che non deformano a taglio, ma solo a
+flessione. Solitamente vengono associate alla trave di Eulero-Bernoulli. Si può parlare anche di trave sottile, nel senso
+che la deformazione a taglio è trascurabile quando la grandezza caratteristica della sezione è molto più piccola della
+lunghezza non dell'elemento ma della struttura (storicamente si parla di rapporti 1:10).
+È stata formulata anche una teoria per la trave flessotagliante, detta anche trave spessa, che viene tipicamente
+indicata come trave di Timoshenko, e che si trova a gestire una componente tagliante che però, per ipotesi, è uniforme
+sulla sezione: come sappiamo, su una sezione rettangolare il taglio ha andamento parabolico, ma quello che si fa è andare
+a considerare un taglio medio.
+Perchè in una sezione rettangolare soggetta a taglio le azioni taglianti non possono avere andamento costante?
+Perchè se supponessimo fosse costante, andremmo incontro a due paradossi fisici: estrapolando i due quadratini evidenziati
+in figura, avrei uno stato tensionale che vede una trave non scarica su due facce che però si equilibrano complessivamente,
+mentre non può esistere una TAU su "questa" faccia perchè è un bordo libero. Questa distribuzione dunque non può essere,
+per cui ho una distribuzione di tipo parabolico, che correttamente, in corrispondenza degli estremi, ha TAU nulla.
+Vediamo cosa succede se considero una trave piana con le funzioni di forma associate.
+Sono rappresentate le possibili funzioni di forma. Vedete le sei funzioni di forma associate ai sei gradi di libertà:
+la prima è una traslazione unitaria in direzione x. u1=0 e tutti gli altri nulli. La trave in questo caso si comprime.
+******************
+Trave flessionale: funzioni di forma
+{{:wikipaom2015:euler_beam.gif|}}
+Trave flessotagliante (Timoshenko beam)
+{{:wikipaom2015:timobeam_eps11_gamma12.png|}}
+Notare shear locking se non sottointegrato.
+Piastra flessotagliante (Mindlin plate, ele95 Marc)
+{{:wikipaom2015:modi_piastra_mindlin.png|}}4
+{{ :wikipaom2015:1.png?300 |}}
+[[https://cdm.ing.unimo.it/files/index.php?dir=progettazione_assistita/corso_2013_2014/2014_05_13|immagini varie]]
+  =======**in fase di stesura**======