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+[[https://cdm.ing.unimo.it/files/progettazione_assistita/dispensa_progettazione_assistita_v2.pdf|dispensa Progettazione Assistita]] con trattazione algoritmo N-R.
+{{:wikipaom2015:nr-2d_v1.pdf|costruzione grafica per N-R 2d}}
+{{:wikipaom2015:nr-1d.pdf|costruzione grafica per N-R 1d}}
+Sorgente latex dispensa (file {{:wikipaom2015:dispensa_progettazione_assistita.tex|1}} {{:wikipaom2015:newton-raphson.tex|2}} {{:wikipaom2015:links.tex|3}}) per copiaincollare formule e testo
+====== Algoritmo Newton-Raphson per sistemi di equazioni non lineari : Iterazione base ======
+Si consideri un sistema lineare di n equazioni
+**R(u) = F (u)**
+nelle n componenti incognite del vettore u, con
+**R : u → R<sup>n</sup> , u ∈ C ⊆ R**
+**F : u → R<sup>n</sup> , u ∈ C ⊆ R**
+funzioni vettoriali di variabile vettoriale.
+Nel caso specifico della soluzione di sistemi di equazioni derivate dagli equilibri nodali di strutture discretizzate con metodo FEM, si definiscono le seguenti grandezze:
+   * u: vettore contenente le componenti di spostamento/rotazione nodale dalla configurazione indeformata (incognite);
+   *  F(u): vettore contenente le componenti di forza/coppia nodale applicate dall'esterno sul sistema, supposte note per una data configurazione della struttura.
+   * R(u): vettore contenente le componenti di azione nodale (uguali e contrarie alle reazioni elastiche della struttura costretta in stato deformato) necessarie a mantenere la struttura in equilibrio nello stato deformativo associato al vettore spostamenti nodali u.
+Nel caso particolare di sistema elastico lineare si ha che:
+**R(u) = K * u**
+con K matrice di rigidezza.
+Si nota che tale interpretazione dei termini dell’equazione **R(u) = F(u)** è appropriata nel caso le condizioni al contorno siano alle sole forze.
+Nel caso in cui siano definiti vincoli di spostamento nodale imposto, alcune coppie di termini coniugati Ri(u)-Fi(u) risulteranno modificate in quanto all'equazione di equilibrio i-esima si sostituisce l’identità cinematica tra spostamenti incognito ed imposto.
+Una scrittura alternativa prevede la definizione e l’annullamento di un termine di residuo
+**r(u) = R(u) − F(u) = 0**
+Tale scrittura permette di riassumere in un unico termine le variazioni in u di forze e reazioni elastiche, per cui risulta vantaggioso procedere con tale notazione.
+Il metodo Newton-Raphson è costruito a partire dallo sviluppo in serie di Taylor al primo ordine dell’equazione  'r(u) = 0' di un punto di iterato i-esimo u^i, ossia:
+**r (u<sup>*</sup>) = r (u<sup>i</sup>) + Jr (u<sup>i</sup>) · (u<sup>*</sup> - u<sup>i</sup>) + o (u<sup>*</sup> − u<sup>i</sup>) = 0.**
+===== Sistemi di equazioni non lineari: metodo di Newton-Raphson =====
+Si considera il problema monodimensionale di un albero rotante con velocità ''Ω'' con una massa con eccentricità ''δ''
+{{https://cdm.ing.unimo.it/.mediawiki/images/8/84/Massa_eccentrica.png?350x200}}
+Tale problema è prettamente "Non Lineare" infatti: per piccoli spostamenti lavora a flessione, mentre per spostamenti via via crescenti, tende a deformarsi come riportato nella figura di seguito.
+{{https://cdm.ing.unimo.it/.mediawiki/images/c/cc/Grandi_deformazioni.png?350x200}}
+L'eccessiva deformazione, ripercuotendosi anche sui  vincoli, fa si che la trave lavori prevalentemente a trazione. La sua rigidezza, in questo caso, è molto maggiore nel caso di sollecitazione a pura flessione.
+Si parla in questo caso di **Stiffening**, ovvero di situazioni in cui la rigidezza cresce al crescere della deformazione.
+Un altro aspetto da considerare è la forza centrifuga, dovuta alla massa eccentrica mantenuta in rotazione, che inizialmente vale:
+ **F = m Ω<sup>2</sup> δ**
+e, dopo la deformazione:
+ **F(u) = m Ω<sup>2</sup> (δ + u)**
+ **R(u) = K u + g(u)**
+Nel caso particolare in esame "K = (6 E J)/lsup>3</sup><"
+In questo caso R(u) e F(u) sono funzioni scalari di variabili scalari.
+Nel caso generale per risolvere il sistema di equazioni non lineari si procede come illustrato di seguito:
+ **R(u) = F(u)**     sistema di equazioni non lineari
+Si tratta il caso bidimensionale le cui proprietà si riscontrano nel caso ad "n" dimensioni.
+Si accorpano le funzioni "R" ed "F" in una funzione residuo: **r(u) = R(u) - F(u)**
+L'equilibro è soddisfatto se **r(u) = 0** pertanto si risolve il sistema di equazioni non lineari
+ **r<sub>1</sub>(u<sub>1</sub>,u<sub>2</sub>) = 0**
+ **r<sub>2</sub>(u<sub>1</sub>,u<sub>2</sub>) = 0**
+L'algoritmo di **Newton - Raphson** è un metodo iterativo con il quale si ricerca la soluzione approssimata della soluzione esatta incognita.
+Come meglio sarà comprensibile nella trattazione del caso monodimensionale è un metodo simile al metodo delle tangenti.
+Si sceglie un punto di partenza **u<sub>1</sub><sup>i</sup>** e **u<sub>2</sub><sup>i</sup>**, sia (**u<sub>1</sub><sup>*</sup>**,**u<sub>2</sub><sup>*</sup>)** la soluzione esatta del sistema, vale:
+ **r<sub>1</sub>(u<sub>1</sub><sup>*</sup>,*u<sub>2</sub><sup>*</sup>) = r<sub>1</sub>(u<sub>1</sub><sup>i</sup>,u<sub>2</sub><sup>i</sup>) + [∂r<sub>1</sub>/∂u<sub>1</sub>] *(u<sub>1</sub><sup>*</sup> - (u<sub>i</sub><sup>1</sup>) + [∂r<sub>1</sub>/∂u<sub>2</sub>] * (u<sub>2</sub><sup>*</sup> - u<sub>2</sub><sup>i</sup>) + o(u<sup>*</sup>-u<sub>i</sub>)**
+Per l'iterazione, togliendo l'infinitesimo, al posto della soluzione esatta si sostituisce la soluzione approssimata ponendo **u<sup>*</sup> = u<sup>i+1</sup>** lo stesso vale per la seconda equazione del sistema.
+Quindi in forma vettoriale si risolve
+**r (u<sup>i</sup>) + Jr (u<sup>i+1</sup> - u<sup>i</sup>) = 0**
+La matrice del sistema **Jr** è analoga alla matrice di rigidezza.
+Una volta definito il passo di iterazione, a partire da **u<sup>i</sup>** si va a risolvere l'equazione:
+$$
+u_{i+1} = u_i - J_r \backslash r(u_i)
+$$
+(Metodo esplicito)
+Prima di procedere all'iterazione ci si accerta della convergenza del metodo per il passo fissato cioè si risolve il limite:
+**Lim<sub>i→∞</sub>||u<sup>i</sup> - u<sup>*</sup>|| = 0**
+Fissata una tolleranza "**ξ**" il primo criterio d'arresto è quello di convergenza agli spostamenti:
+ **||u<sup>i+1</sup> - u<sup>i</sup>|| < ξ**, criterio per il quale bisogna avere almeno due campionamenti.
+Il secondo criterio è quello della convergenza del residuo:
+ **||r(u<sup>i</sup>)|| < ξ**, criterio che non necessita di due campionamenti.
+Prima di passare all'interpretazione grafica si illustra l'algoritmo di **Newton - Raphson** nel caso monodimensionale.
+Nel caso monodimensionale la formula iterativa risulta:
+ **u<sup>i+1</sup> = u<sup>i</sup> - [dr/du]<sub>u = u(i)</sub>**
+{{:wikipaom2015:nr-1d.pdf|costruzione grafica per N-R 1d}}
+Considerato l'iterato ui, si tira la tangente in modo che anziché risolvere l'equazione, risolvo la sua forma linearizzata, ossia trovo il punto che annulla la linearizzazione: si trova l'iterato ui+1. In corrispondenza di ui+1 si puó calcolare il residuo: partendo da qui si traccia la tangente e ricavare ui+2. **Ci si ferma quando il residuo é abbastanza basso o quando la distanza tra due iterati successivi é abbastanza piccola**.
+Dall'immagine riportata si osserva come a partire dal punto iniziale **u<sup>i</sup> = u** si arriva ad una soluzione approssimata vicina a  **u<sup>*</sup>**.
+Il numero di iterazioni è pari al numero di tangenti che vanno ad approssimare la funzione **r(u)** nei vari punti **u<sup>i</sup>**.
+Analoghe considerazioni si possono fare per la soluzione grafica nel caso bidimensionale dove sul piano "**u<sub>1</sup>**", "**u<sub>2</sub>**" sono riportate le curve di livello **r<sub>1</sub>(u) = 0** e **r<sub>2</sub>(u) = 0**.
+L'intersezione di tali curve rappresenta la soluzione del sistema.
+Procedendo all'iterazione partendo da un generico **u<sub>i</sub>** ed iterando come precedente esposto, si individuano di volta in volta due piani tangenti alla funzione nell'intorno **u<sub>i</sub>**.